Что такое производная?
Представь, что машина едет по дороге. Пройденный ею путь s зависит от времени t.
Производная пути по времени — это мгновенная скорость машины, то есть скорость в конкретный момент. Именно её показывает спидометр:
v(t) = s′(t).
От средней скорости к мгновенной
Если за 10 секунд машина проехала 100 метров, её средняя скорость была:
vср = Δs / Δt = 100 / 10 = 10 м/с.
Но в течение этих секунд машина могла разгоняться и тормозить. Чтобы узнать скорость в определённый момент, нужно рассматривать всё меньший промежуток времени около него. Значение, к которому стремится средняя скорость при таком уменьшении промежутка, и есть производная:
s′(t) = limΔt→0 (s(t + Δt) − s(t)) / Δt.
Пример
Пусть путь машины описывается формулой:
s(t) = 2t2,
где s измеряется в метрах, а t — в секундах.
По правилу дифференцирования (t2)′ = 2t, поэтому:
v(t) = s′(t) = 4t.
Через 3 секунды скорость равна:
v(3) = 4 · 3 = 12 м/с.
То есть в момент t = 3 с спидометр показывает 12 м/с, или 43,2 км/ч.
3 задачи с ответами
Во всех задачах путь дан в метрах, время — в секундах.
1. Постоянная скорость
Машина движется по закону s(t) = 7t. Найди её скорость через 5 секунд.
Ответ: v(t) = s′(t) = 7. Значит, через 5 секунд скорость равна 7 м/с, как и в любой другой момент.
2. Разгон
Путь машины задан формулой s(t) = 3t2 + 2t. Найди скорость через 4 секунды.
Ответ:
v(t) = 6t + 2, v(4) = 6 · 4 + 2 = 26 м/с.
3. Средняя и мгновенная скорость
Машина движется по закону s(t) = t2. Найди:
- среднюю скорость за промежуток от t = 2 с до t = 4 с;
- мгновенную скорость в момент t = 4 с.
Ответ:
vср = (s(4) − s(2)) / (4 − 2) = (16 − 4) / 2 = 6 м/с.
v(t) = 2t, v(4) = 8 м/с.
Средняя скорость описывает весь промежуток, а производная — движение в конкретный момент.